课程名称：常微分方程

一、考试的总体要求

本门课程主要考察学生对常微分方程的基本概念、基本原理以及基本解法的掌握程度。并且要求学生能够对上述基本知识进行灵活运用，具有较强的分析问题、建立模型、解决问题的能力。

二、 考试的内容及比例

1、绪论(5 ～ 10%)：

(1) 掌握微分方程的基本概念。

(2) 了解利用物理基本概念建立简单微分方程模型。

2、一阶微分方程的初等解法(10 ～ 30%)：

(1) 掌握变量可分离方程及可化为变量可分离方程的求解、线性方程的概念及常数变易法的使用、恰当方程的判定以及积分因子的计算;

(2) 理解一阶隐方程的求解及参数表示。

3、一阶微分方程解的存在定理(10 ～ 20%)：

(1) 掌握解的存在性的证明方法，性定理条件和结论。

(2) 熟练运用解的存在性定理计算解的存在区间。

(3) 理解包络和奇解的概念，会求解克莱罗(Clairaut)方程。

(4) 了解解的延拓以及解对初值问题的连续与可微性。

4、高阶微分方程(15 ～ 30%)：

(1) 掌握齐次线性方程的解的性质与结构、非齐次线性方程与常数变易法。

(2) 熟练运用各种常系数线性微分方程的解法。包括：常系数齐次线性方程和欧拉方程，非齐次线性方程。

(3) 理解比较系数法与拉普拉斯(Laplace)变换法求解线性方程。

(4) 了解一些可降阶的方程的求解。

5、线性微分方程组(15 ～ 30%)：

(1) 掌握矩阵指数expA的定义和性质、基解矩阵的计算公式。

(2) 熟练运用常数变易法求解线性微分方程组。

(3) 理解线性微分方程组存在性定理以及拉普拉斯变换解线性微分方程组。

6、非线性微分方程和稳定性(5 ～ 15%)：

(1) 掌握线性系统平衡点(奇点)类型的判断方法。

(2) 熟练运用按线性近似确定微分方程组的稳定性的方法。

(3) 理解Lyapunov第二方法。