科目代码：856 科目名称：高等代数

考试范围：

一、多项式

1 数域上一元多项式的定义、运算及运算规律.

2 带余除法, 整除的定义及性质.

3 多项式的最大公因式, 互素等概念及性质. 辗转相除法.

4 不可约多项式的定义及性质, 因式分解定理, 标准分解式.

5 k重因式的定义. 判断一个多项式有无重因式.

6 多项式函数的概念, 余数定理, 多项式的根及性质.

7 复系数、实系数多项式的因式分解,

8. 有理系数多项式的可约性的判定. 多项式的有理根.

二、行列式

1 n级行列式的定义及其基本性质.

2 余子式、代数余子式, 行列式按一行(列)展开及Laplace 定理.

3 低阶行列式, 有规律的高阶行列式的计算.

4 克莱姆(Cramer)法则.

三、线性方程组

1 线性组合、线性相关、线性无关的定义、性质及其判断.

2 向量组的极大无关组、秩的定义及其求法.

3 矩阵的行秩、列秩、秩的定义. 矩阵的秩与其子式的关系.

4 线性方程组的有解判别定理. 含参数线性方程组解的讨论.

5 齐次线性方程组基础解系; 非齐次线性方程组有解的情况下, 其解的表示.

四、

矩阵

 

1 矩阵的基本运算及其规律. 有关矩阵秩的常见等式与不等式.

2 可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念. 矩阵可逆的充要条件?

3 初等矩阵、初等变换. 矩阵的等价标准形. 求一个方阵的逆矩阵.

4 分块矩阵的意义及其运算. 分块矩阵的初等变换和广义初等矩阵的关系, 求分块矩阵的逆.

五、二次型

1 二次型, 二次型的 (相伴) )矩阵和非退化线性替换的概念

2 二次型的标准形, 化二次型为标准形的方法: 配方法、合同变换法

3 复数域和实数域上二次型的规范形的性, 惯性定理.

4 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念.

正定二次型及半正定二次型的等价条件.

六 线性空间

1 线性空间的定义及性质, 判断一个代数系统是否是线性空间.

2 线性空间的基, 维数, 向量坐标的概念及性质. 基变换与坐标变换.

3 子空间的定义及判别定理, 向量组生成子空间的定义及等价条件.

4 子空间的交与和的定义、性质及其求法,?维数公式.

5 子空间直和的概念, 和为直和的充要条件.

七线性变换

1 线性变换的定义及性质, 运算及运算规律?

2 有限维线性空间中, 线性变换与矩阵的关系,

3 特征值、特征向量、特征多项式的概念、性质和计算. 哈密尔顿-凯莱定理.

4 n 维线性空间中线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的充要条件.

5 线性变换的值域、核、秩、零度等概念及其计算?

6 不变子空间的定义, 判定一个子空间是否是A-子空间, 不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系, 空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式.

八、矩阵

若当标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系

九 欧几里得空间

1 欧氏空间的定义及性质, 度量矩阵等概念和基本性质?

2 正交向量组、标准正交基的概念, 施密特正交化过程,

3 两个子空间正交的概念, 欧氏空间中子空间都有的正交补及其性质.

4 正交变换的概念及几个等价条件.

5 对称变换的定义及性质, 实对称矩阵均可正交相似于一个对角阵, 正交替换法化实二次型为标准形.