《近世代数基础》大纲要点

第一章基本概念

1、理解集合、映射、一一映射、满射、单射的概念;掌握代数运算与映射的关系，能判断给定的运算能否满足结合律、交换律以及两种分配律。

2、掌握同态映射、同构映射和自同构的概念，能判定映射是否是同态与同构映射，能建立两个集合之间的同态与同构映射。

3、理解关系和等价关系的概念，掌握等价关系和分类之间的转换定理，能熟练判定给定的关系是否是等价关系，并熟悉剩余类的基本特性。

重点掌握——代数运算、变换、同态、同构、自同构概念，理解等价关系与集合分类之间的关系。

第二章群论

1、理解群的几种不同定义，理解左、右单位元与左、右逆元的意义，掌握群的阶和交换群的概念;会计算群元素的周期。

2、理解群同构、同态的定义，掌握群同态的有关性质;掌握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点，熟练掌握剩余类加群。

3、熟练掌握变换的符号运用和变换乘法，了解变换群的定义、性质;理解置换与置换群的定义、性质与运算，理解有限群与置换群的同构关系;理解子群的定义与判定。

4、掌握陪集的定义;理解不变子群与商群的定义;理商群阶的意义及其应用;了解核的定义;掌握两个具有同态关系的群之间子群或不变子群的象的性质。

重点掌握——群的几种不同定义;变换群、置换群、循环群的结构;深刻理解子群、不变子群、商群、同态、同构等概念及它们之间的相互关系。

第三章环与域

1、熟悉环的定义与环的计算规则;熟悉单位元、逆元和零因子的性质;掌握消去律与零因子的关系;理解交换环、有单位元环、无零因子环、整环、除环、域的定义以及除环与加群、乘群的关系;熟悉无零因子环中的计算规则，掌握无零因子环中特征的性质。

2、了解子环、子除环的定义;了解同态、同构环之间的性质;了解多项式环，熟悉多项式环中的未定元、次数以及系数、无关未定元的作用。

3、理解理想子环、零理想、单位理想和主理想的构成与判断;理解剩余类环的定义与性质;了解在同态映射下两个环相互之间的关系，理解什么是最大理想;了解商域的构成。

重点掌握——环、理想、最大理想等概念;掌握多项式环、无零因子环、环的特征等概念，并能熟练地加以应用。

第四章整环里的因子分解

1、了解整除，单位、相伴元和平凡因子、真因子、素元的概念;掌握分解的定义、性质以及公因子、最大公因子的概念;了解互素的概念;理解判别分解环的方法。

2、理解主理想环、欧氏环的定义;理解欧氏环、整数环、主理想环与分解环的关系;知道本原多项式的定义与性质;了解多项式的根和性质。

重点掌握——环里的因子分解、熟练掌握分解环、主理想环、欧氏环。

参考教材

1、张禾瑞，《近世代数基础》，人民教育出版社，1978年修订本。

2、吴品三，《近世代数》，人民教育出版社，1979年。