《高等数学》考试大纲

一、考试内容和要求

（一）函数、极限、连续

1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，能够正确建立简单应用问题中的函数关系．

2．了解函数有界性、单调性、周期性和奇偶性的概念，并能熟练分析函数图形特征．

3．理解复合函数、分段函数、反函数以及隐函数的概念．

4．掌握基本初等函数的定义、性质以及图形特征，了解初等函数的概念．

5．理解极限、单侧极限的定义及其之间的相互关系．

6．熟练掌握极限的性质及四则运算法则．

7．熟练掌握并运用极限的两个存在性准则以及两个重要极限．

8．理解无穷小量、无穷大量的定义及其之间的关系，掌握无穷小量阶的比较方法，掌握极限与无穷小量的关系，能够正确利用等价无穷小量求解极限问题．

9．理解函数连续、单侧连续的概念及其之间的关系，能够熟练找出函数的间断点并判断其类型．

10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解并能熟练应用闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）．

（二）一元函数微分学

1．理解导数、单侧导数、微分的概念，理解导数与单侧导数、导数与微分的关系，掌握导数的几何意义并能推导平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，能够利用导数描述一些简单的物理现象，理解函数的可导性与连续性之间的关系．

2．熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导法则以及反函数的求导方法，掌握基本初等函数的导数公式．熟练掌握微分的四则运算法则，理解并能应用函数的一阶微分形式不变性，熟练掌握求解函数微分的方法．

3．理解高阶导数的概念，熟练推导简单函数的高阶导数．

4．掌握分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数以及反函数导数的求解方法．

5．理解并会应用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西(Cauchy）中值定理．

6．熟练掌握应用洛必达法则求解未定式极限．

7．理解函数的极值、最值以及极值点、最值点的概念，掌握函数单调性的判别方法，掌握求解函数极值点和极值并判别最值和最值点的方法．

8．掌握函数图形凹凸性的判别方法，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会绘制函数的图形．

（三）一元函数积分学

1．理解原函数、不定积分和定积分的概念．

2．熟练掌握计算不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．

3．会求解有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的积分．

4．理解变限积分（积分上限函数）及其求导方法，掌握牛顿一莱布尼茨公式．

5．理解反常积分的概念，会计算反常积分．

6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力等）及函数的平均值．

（四）多元函数微积分学

1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．

2．理解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上二元连续函数的性质．

3．理解多元函数偏导数的概念并能熟练求解多元复合函数的各阶偏导数，掌握全微分的概念并能熟练求解多元函数的全微分，理解隐函数存在定理并会求解多元隐函数的偏导数．

4．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，理解二元函数极值存在的充分条件并求解二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求解函数条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．

5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．

（五）无穷级数

1．理解级数收敛与发散、收敛级数和的概念．

2．掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．

3．理解任意项级数绝对收敛、条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．

4．掌握幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域的概念与求解方法．

5．理解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），并求解简单幂级数在其收敛区间内的和函数．

6．掌握．．．及的麦克劳林（Maclaurin）展开式．

（六）常微分方程

1．理解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．

2．掌握变量可分离的微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．

3．掌握求解二阶常系数齐次线性微分方程．

4．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理，能够求解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．

5．能够运用微分方程求解简单应用问题．

二、参考书目

[1]《高等数学》（第6版）上册，同济大学数学系编著，高等教育出版社，2007年；
[2]《高等数学》（第6版）下册，同济大学数学系编著，高等教育出版社，2007年。

三、考试满分和考试时间

试卷满分150分，考试时间为三个小时。

四、答题方式

答题方式为闭卷、笔试。

五、试卷题型结构

试卷题型结构为：

单项选择题8小题，每小题4分，共32分

填空题6小题，每小题4分，共24分

解答题（包括证明题）9小题，共94分