2025年数学三考试大纲

考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计

考试形式和试卷结构

一、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟．

二、答题方式

答题方式为闭卷、笔试．

三、试卷内容结构

微积分　约60%

线性代数　约20%

概率论与数理统计约20%

四、试卷题型结构

单项选择题选题10小题，每小题5分，共50分

填空题6小题，每小题5分，共30分

解答题（包括证明题）6小题，共70分

线性代数

一、行列式

考试内容

行列式的概念和基本性质　行列式按行（列）展开定理

考试要求

了解行列式的概念，掌握行列式的性质。

会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。

二、矩阵

考试内容

矩阵的概念　矩阵的线性运算　矩阵的乘法　方阵的幂　方阵乘积的行列式　矩阵的转置　逆矩阵的概念和性质　矩阵可逆的充分必要条件　伴随矩阵　矩阵的初等变换　初等矩阵　矩阵的秩　矩阵的等价分块矩阵及其运算

考试要求

1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质。

2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。

3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。

4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法。

5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。

三、向量

考试内容

向量的概念　向量的线性组合与线性表示　向量组的线性相关与线性无关　向量组的极大线性无关组等价向量组　向量组的秩　向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法

考试要求

1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则。

2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。

3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。

4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系。

5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法。

四、线性方程组

考试内容

线性方程组的克拉默（Cramer）法则　线性方程组有解和无解的判定　齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系　非齐次线性方程组的通解

考试要求

会用克拉默法则解线性方程组。

掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法。

理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。

理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。

掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

五、矩阵的特征值和特征向量

考试内容

矩阵的特征值和特征向量的概念、性质　相似矩阵的概念及性质　矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵　实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵

考试要求

理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。

理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。

掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

六、二次型

考试内容

二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵　二次型的秩　惯性定理　二次型的标准形和规范形　用正交变换和配方法化二次型为标准形　二次型及其矩阵的正定性

考试要求

掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念,了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理。

掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形。

理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。