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线性回归

一、概述

（一）回归与线性回归

1.回归分析

通过大量的观测发现变量之间存在的统计规律性，并用一定的数学模型表示变量相关关系的方法。

2.一元线性回归分析

当只有一个自变量，并且统计量大体是一次函数的线性关系的回归分析。

（二）相关分析和回归分析

区别：

1.相关分析

（1）用相关系数来度量变量间的密切程度；

（2）相关分析是双向的，不强调哪个是自变量，哪个是因变量。

2.回归分析

（1）用数学模型来表示变量之间数量关系的可能形式；

（2）回归分析是单向的，要找出一个变量随着另一个或多个变量的变化而变化的关系。

联系：

（1）从广义上而言，相关分析包括回归分析。

（2）两者的共同点是确定变量之间是否存在关系。

（3）在一元线性回归中，相关系数等于两回归系数的几何平均数：

（三）回归模型

用来表达变量之间规律的数学模型即为回归模型。

一元线性回归用

 ̂=a+bX作为回归方程，代表X与Y的线性关系，其中：

X：自变量，

：对应于X的Y变量的估计值；

a：表示该直线在Y轴的截距；

b：表示该直线的斜率，即X变化时Y的变化率，表示X变化一个单位时，

变化b个单位。又叫作Y对X的回归系数，用by.x或X→Y表示。

若以Y做自变量，回归方程变为：

 ̂=a+bY，这时

b：Y变化时X的变化率，表示Y变化一个单位，

变化b个单位。又叫X对Y的回归系数，用bx.y或Y→X表示。

（四）线性回归的基本假设

设回归方程为：

 ̂=a+bX

1.线性关系假设

x与Y在总体上具有线性关系，这是线性回归的最基本假设。

2.正态性假设

在回归分析中的Y服从正态分布。

3.独立性假设

（1）一个X对应的Y值与另一个X对应的Y值间独立。

（2）不同X产生的误差相互独立，误差与X间也相互独立。

4.误差等分散性假设

X对应的误差，除呈随机化的常态分布，其变异量也应相等，称为误差等分散性。

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