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　　推断统计的数学基础

　　一、概率

　　(一)概率的定义

　　概率因寻求的方法不同有两种定义，即后验概率和先验概率。

　　1、后验概率的定义

　　以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率制作为随机事件A概率的估计值，这样寻得的概率称为后验概率。计算公式是P(A)=limm/n

　　2.先验概率的定义

　　先验概率是通过古典概率模型加以定义的，故又称为古典概率。古典概率模型要求满足两个条件：(1)试验的所有可能结果是有限的;(2)每一种可能结果出现的可能性(概率)相等。若所有可能结果的总数为n，随机事件A包括m个可能结果。

　　(二)概率的性质

　　1、任何随机事件A的概率都是介于0与1之间的正数;

　　2、不可能事件的概率等于0;

　　3、必然事件的概率等于1。

　　(三)概率的加法和乘法

　　1、概率的加法

　　在一次试验中不可能同时出现的事件称为互不相容的事件。

　　两个互不相容事件和的概率，等于这两个事件概率之和。P(a+b)=P(a)+P(b)

　　2.概率的乘法

　　A事件出现的概率不影响B事件出现的概率，这两个事件为独立事件。

　　两个独立事件的概率，等于这两个事件概率的乘积。

　　P(A1,A2…An)=P(A1),P(A2)…P(An)

　　二、正态分布

　　正态分布是一种连续型随机变量的概率分布。

　　(一)正态曲线

　　1.正态曲线函数

　　正态曲线的函数式是公式

　　标准正态分布的函数式是公式

　　2.正态曲线的特点

　　(1)曲线在Z=0处为高点。

　　(2)曲线以Z=0处为中心，双侧对称。

　　(3)曲线从高点向左右缓慢下降，并无限延伸，但永远不与基线相交。

　　(4)标准正态分布上的平均数为0，标准差为1。

　　(5)曲线从高点向左右延伸时，在正负1个标准差是拐点。

　　(二)正态曲线的面积与纵线

　　1、累积正态分布函数

　　2、标准正态分布下面积的求法

　　3、正态曲线的纵线

　　(三)正态分布在测验计分方面的应用

　　1、将原始分数转换成标准分数

　　标准分数的意义：第一，各科标准分数的单位是绝对等价的;第二、标准分数的正负和大小可以反映出考生在全体考分中所处的地位。

　　2、确定录用分数线

　　3、确定等级评定的人数

　　三、二项分布

　　(一)二项试验

　　满足以下条件的试验称为二项试验：(1)一次试验只有两种可能结果，即和失败;(2)各次试验相互独立，互不影响;(3)各次试验中的概率相等。

　　(二)二项分布函数

　　二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。

　　用n次方的二项展开式来表达在n次二项试验中事件出现不同次数(X=0,1,…,n)的概念分布叫做二项分布。

　　二项展开式的通式(5.8)就是二项分布函数，运用这一函数式可以直接求出事件恰好出现X次的概率。

　　(三)二项分布图

　　从二项分布图可以看出，当p=q，不管n多大，二项分布呈对称形。当n很大时，二项分布接近于正态分布。当n趋近于无限大时，正态分布是二项分布的极限。

　　(四)二项分布的平均数和标准差

　　当二项分布接近于正态分布时，在n次二项实验中事件出现次数的平均数和标准差分别可以由公式(前提np≥5且nq≥5)

　　平均数——M=np标准差——r=npq1/2

　　(五)二项分布的应用

　　二项分布函eg:1.某市参加一考试2800人，录取150人，平均分数75分，标准差为8。问录取分数定为多少分?

　　解：X~N(75.82)

　　Z=(x-#)/σx=(x-15)/8～N(0,12)

　　P=150/2800=0.053

　　0.5-0.053=0.447

　　Z=1.615

　　X=1.615*8+75≈88(分)

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